La Axiomática

Los defecos del aparato Euclidiano

La axiomática

Los términos propios de la teoría jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se adelantan sin ser demostradas, a excepción de un pequeño número de entre ellas que se enuncian en primer lugar a titulo de principios: la demostración no puede, en efecto, remontarse al infinito y debe sin duda reposar sobre algunas proposiciones.
El geómetra no procede sino por vía demostrativa, no funda sus pruebas sino sobre lo que se ha establecido anteriormente, conformándose con las solas leyes de la lógica. Los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar.
Con ellos, la geometría dejo de ser una colección de recetas practicas o, cuando mas, de enunciados empíricos, para llegar a ser una ciencia racional. Un sistema axiomático se dice también: una teoría axiomática o, más brevemnte, una axiomática es, pues, la forma acabada que toma, hoy, una teoría deductiva.

Postulados

 

La simetría aparente entre la proposición que enuncia que por un punto pasa al menos una paralela, proposición que se establece por una demostración (teorema de existencia), y la que enuncia que pasa una a lo sumo (postulado de unicidad), hacia mas escandalosa aun la asimetría de las justificaciones.
Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de postulado.
Se sabe como el fracaso de las demostraciones directas sugirió la idea de una demostración por el absurdo, y como a su vez el fracaso de las demostraciones por el absurdo termino pronto, por una inversión del punto de vista, en la constitución de las primeras geometrías llamadas no-euclidianas. El alcance epistemológicas de esta nuevas teorías es considerable, pues contribuyeron favorablemente a desplazar el centro de interés de la geometría especulativa, trasportándolo del contenido hacia las estructura, de la verdad extrínseca de las proposiciones aisladas hacia las coherencia interna del sistema total.
Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón. La geometría teórica abandona ahora decididamente el primer elemento, que remite a la geometría aplicada.
La verdad de los teoremas se refiere a los sistemas diferentes, por otra parte los sistemas mismos, ya no son solo cuestión de verdad o falsedad, sino en el sentido lógico de la coherencia o de la contradicción interna.

Las figuras

 

Las figuras no existen solo como un auxiliar del razonamiento, que duplican en cierta forma la demostración lógica mediante una ilustración sensible, sin ser indispensable. Puesto que no hay nada de eso ya sea que esta se suprima, se trace o se imagine la demostración se viene abajo.
En las exposiciones clásicas de geometría, un análisis atento descubre así un gran número de proposiciones implícitas. En primer lugar, las proposiciones de existencia. La posibilidad de construirla en la intuición prueba seguramente que la noción de la cual se trata no envuelve contradicción, pero es una prueba de hecho, no una justificación racional.
Los elementos no enuncian expresamente más que una sola proposición topológica, es decir, que conciernen al orden y a la continuidad, independientemente de toda consideración de ángulos y de métrica. Es claro que un método riguroso no puede permitirse este recurso permanente a la intuición. Exige que todas las propiedades supuestas sean enunciadas bajo la forma explicita de proposiciones: las que se demuestren, serán afirmadas como teoremas, las otras irán a aumentar el número de los postulados.

Los axiomas

 

Los axiomas también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa. Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, más justamente una postulantica.
El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concesible, el axioma seria una proposición analítica que constituiría un absurdo negar.

Las definiciones

 

Las mismas razones que valen para la demostración, valen evidentemente para la definición. Se define un término mediante otros términos, estos a su vez mediante otros, de suerte que, para evitar la regresión al infinito, es necesario sin duda detenerse en algunos términos no definidos, así como las demostraciones deben apoyarse sobre algunas proposiciones no demostradas.
Las “definiciones” iníciales de Euclides no tienen de definiciones mas que la apariencia. Se reducen a simples descripciones empíricas, comparables a las que daría un diccionario, que tuviera por objeto dirigir el espíritu hacia la noción de lo que se trata.
Euclides define la línea recta: como la que descansa igualmente sobre sus puntos. Herón la substituye por la definición siguiente, en apariencia más clara: el camino más cortó entre dos puntos. Leibniz advierte con razón que la mayor parte de los teoremas que se apoyan sobre la recta no utilizan ni una ni otra de estas dos propiedades.
La utilidad de esta exigencia lógica aparecerá tanto mejor si la definición reúne bajo un mismo término un número mayor de propiedades heterogéneas: entonces no basta que cada una sea posible, es necesario que en conjunto sean integrables.

Demostración y definición

 

En el punto de partida de una teoría deductiva, concebida para satisfacer a las exigencias lógicas , deberán figurar no únicamente los tres “principios” tradicionales: definiciones, axiomas y postulados, sino proposiciones no demostradas que se llamaran “indiferentemente axiomas o postulados y términos no definidos: y todo el trabajo ulterior consistirá en construir a partir de ahí proposiciones nuevas, justificadas por medio de demostraciones y de términos nuevos, fijados por medio de definiciones.
Mediante la demostración y la definición se hacen operaciones fundamentales mediante las que se desarrolla una teoría deductiva. Pero ¿Qué condiciones debe satisfacer una buena demostración y una buena definición? Eso depende del fin que se asigne a estas operaciones y, también sobre este punto, las exposiciones clásicas de geometría carecen a menudo de claridad, puesto que se proponen en forma simultánea dos cosas diferentes, las cuales no se concilian necesariamente.
Si se pone en primer plano la verdad del contenido, entonces la demostración y la definición llegan a ser simples medios para establecerla. El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las proposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas.
La definición y la demostración dependen entonces, propiamente hablando, de la retorica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. Sin embargo, en la otra hipótesis, no tienen más que una función lógica: reunir todos los términos y todas las proposiciones en un conjunto sistemático.
Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la acompaña.
La demostración vacila entre una función psicológica (determinar el asentimiento) y una función lógica (organizar las proposiciones en sistema), asimismo la definición se instala una veces en el plano del pensamiento, otras en el discurso, y muy a menudo pretende hacer a la vez lo uno y lo otro.
IV.-El método axiomático en la ciencia
Ventajas del método axiomático
En sus comienzos, la formulación axiomática de una teoría deductiva podía parecer de interés limitado. Entre los matemáticos mismos, muchos no veían en ella, casi, mas que un procedimiento elegante de exposición, de un refinamiento bastante superfluo, una suerte de juego intelectual apto para satisfacer a espíritus excesivamente escrupulosos en cuanto al rigor lógico, pero al margen del trabajo científico verdaderamente productivo.
La historia de la ciencia, sin embargo, muestra de manera superabundante que a menudo las investigaciones inicialmente más desinteresadas son las que se revelan finalmente, como las más fecundadas.
Para la reflexión, las ventajas del método axiomático son manifiestas. Es, en primer lugar, un preciso instrumento de abstracciones y análisis. Ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan a menudo aun confusas, tienen comprensiones a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicitadas: nada nos garantiza entonces que estos diversos elementos seguirán siendo siempre compatibles, nada nos precave contra el peligro de resbalar inconscientemente, en nuestros razonamientos, del uno al otro.

La axiomatización de las matemáticas

La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que se ha podido decir que es la matemática despojada de su substancia y reducida a su forma, nació entes que ella y se desarrollo, en primer lugar, de manera independiente; mas el espíritu en que se inspira es tan conforme al de la axiomática, y los problemas a menudo tan vecinos, que los dos ordenes de investigaciones se encuentran asociados de modo muy intimo. Se apoya en las tendencias mismas que caracterizan al espíritu matemático europeo y que no han hecho sino exasperarse desde hace un siglo, por eso el método axiomático no puede disociarse bien. Todas las teorías matemáticas, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, han sido axiomatizadas hoy, y a menudo de múltiples maneras.
Las cosas eran claras en la fase empírica e inductiva: dejándonos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades. El análisis axiomático, destaca las estructuras de las teorías particulares ya constituidas, y revela así las analogías formales entre teorías a menudo muy alejadas por su contenido y, por esta razón, permanece independiente.
Las teorías matemáticas están puestas en correspondencia con teorías extra matemáticas, y particularmente con teorías lógicas: el cálculo de probabilidades con ciertas lógicas plurivalentes, la topología con ciertos cálculos de lógica modal.
La similitud de funciones conduce también a crear, para una teoría, nociones abstractas que nada podían sugerir mientras se les tenga sujeta a su interpretación primitiva, de la cual nacen nuevos seres matemáticos. No solamente las teorías particulares son las que se aprovechan del tratamiento axiomático. La fisonomía del conjunto de las matemáticas se encuentra transformada. En razón de parentescos insospechados que de pronto se revelan ahí, el universo matemático se distribuye.
La axiomatización en las otras ciencias
El tratamiento axiomático no fue solamente aplicado a las matemáticas, se desbordo por ambos lados. No debe sorprendernos de que un método que se propone suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su terreno de elección en la lógica misma. Esta ciencia hace de ella hoy un empleo regular y sistemático, su uso disminuye a medida que se desciende la escala de las ciencias, que se pasa de la mecánica a las otras partes de la física, y de ahí a las otras cencías de la naturaleza.
Una axiomática permanece demasiado vana si no se construye sobre una teoría deductiva previa, la cual no tiene valor científico si no organiza un vasto conjunto de leyes adquiridas inductivamente. La física inductiva en los siglos XVII y XVIII, abrió en el siglo XIX la era de las grandes teorías deductivas, y ha llegado hoy al punto en donde el tratamiento axiomático le resulta aplicable demasiado ampliamente.
Una física tal es necesariamente estructural, la cual pide expresamente la subordinación de los términos a las relaciones, tan característicos del ordenamiento axiomático. Si no se ha extendido mucho el uso de exponer axiomáticamente el contenido de la física clásica, no es que la cosa presente dificultades especiales, al menos para las partes ya sistematizadas. La axiomática es el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual quiere decir también que toda puesta en forma deductiva inicia ya en la vía de la axiomática.
Limites del método axiomático
Las ventajas de este método disimulan los límites. Lo cual no representa sino una de las fases de la ciencia y que aun el lógico y el matemático no se desinteresan en modo alguno de la verdad material de sus proposiciones.

Este método propone perseguir a la intuición para substituirla, no ya por el razonamiento, sino por un cálculo, por un manejo regulado y privado de símbolos. El formalismo no puede funcionar sin alimentarse, de una y otra parte, de la intuición. La intuición concreta lo que sostiene, no en los libros donde una axiomática comienza con los axiomas: en el espíritu del axiomático, pues presupone la deducción material que pone en forma, y esta a su vez ha exigido un látigo trabajo inductivo previo para reunir los materiales que organiza.
Una axiomática no ofrece casi interés para quien no ha asimilado el conjunto de conocimientos concretos que ordena esquematizarlos. Puesto que no se construye una axiomática por simple juego, y los instrumentos intelectuales son hechos, también, para ser utilizados. El beneficio del método axiomático no es excluir la intuición, sino contenerla y hacerla retroceder hacia el estrecho terreno en donde es irremplazable. Tiene ventaja subsistir el órgano por el instrumento, luego, el instrumento por la maquina, de aparatos de auto-regulación: por más perfeccionada que se la imagine, su simple funcionamiento para no hablar de su construcción ni de su utilización exigirá siempre un control humano, no dispensara jamás de algunas intervenciones exteriores, así fuesen, cada vez, más mínimas y espaciadas.